acceuil / cours universitaire / Mathematiques / Analyse / Tout Formulaire de trigonométrie

Tout Formulaire de trigonométrie

Introduction :

Histoire :

C’est dans le monde arabo-musulman que la trigonométrie prend le statut de discipline à part entière et se détache de l’astronomie.

Omar Khayyam (1048-1131) combine l’utilisation de la trigonométrie et la théorie de l’approximation pour fournir des méthodes de résolutions d’équations algébriques par la géométrie. Des méthodes détaillées de constructions de tables de sinus et cosinus pour tous les angles sont écrites par le mathématicien Bhāskara II en 1150. Il développe aussi la trigonométrie sphérique. Au xiiiéme siècle, Nasir al-Din Tusi, à la suite de Bhāskara, est probablement un des premiers à considérer la trigonométrie comme une discipline distincte des mathématiques. Enfin, au xivéme siècle, Al-Kashi réalise des tables de fonctions trigonométriques lors de ses études en astronomie.

Définition

Une définition possible des fonctions trigonométriques est d’utiliser les triangles rectangles, c’est-à-dire les triangles qui possèdent un angle droit (90° degrés ou π/2 radians).

Et parce que la somme des angles d’un triangle fait 180° (ou π radians), l’angle le plus grand dans un tel triangle est l’angle droit. Le côté le plus long dans un triangle rectangle, c’est-à-dire le côté opposé à l’angle le plus grand (l’angle droit), s’appelle l’hypoténuse.

Dans la figure à droite, l’angle \scriptstyle\widehat{ACB} forme l’angle droit. Le côté AB l’hypoténuse.

Les fonctions trigonométriques se définissent ainsi, en notant A l’angle \scriptstyle\widehat{BAC} :

 \sin A={\mbox{côté opposé} \over \mbox{hypoténuse}} = {a \over c}<br /><br /><br /><br />
 \qquad \cos A={\mbox{côté adjacent} \over \mbox{hypoténuse}} = {b \over c}<br /><br /><br /><br />
 \qquad \tan A={\mbox{côté opposé} \over \mbox{côté adjacent}} = {a \over b}<br /><br /><br /><br />

Ce sont les fonctions trigonométriques les plus importantes. Elles ont été définies pour les angles entre 0° et 90° (soit entre 0 et π/2 radians). En utilisant le cercle unité, on peut étendre cette définition.

I – Généralités

1.1/ Relations fondamentales

tan(x) = sin(x)/cos(x)
Petite astuce de Nelly: Pour se souvenir de la formule précédente, perso je me dis que tangente c’est Soleil sur Carottes ! D’où sin sur cos…si ça peut aider!

sin²(x) + cos²(x) = 1

sin²(x) = tan²(x) / (1 + tan²(x))
cos²(x) = 1 / (1 + tan²(x))

 

1.2/ Transformations remarquables

sin(2pi + x) = sin(x)
cos(2pi + x) = cos(x)
tan(2pi + x) = tan(x)

sin( -x) = – sin(x)
cos( -x) = cos(x)
tan( -x) = – tan(x)

sin(pi – x) = sin(x)
cos(pi – x) = – cos(x)
tan(pi – x) = – tan(x)

sin(pi + x) = – sin(x)
cos(pi + x) = – cos(x)
tan(pi + x) = tan(x)

sin(pi/2 – x) = cos(x)
cos(pi/2 – x) = sin(x)
tan(pi/2 – x) = 1/tan(x)

sin(pi/2 + x) = cos(x)
cos(pi/2 + x) = – sin(x)
tan(pi/2 + x) = -1/tan(x)

sin(3pi/2 – x) = – cos(x)
cos(3pi/2 – x) = – sin(x)
tan(3pi/2 – x) = 1/tan(x)

sin(3pi/2 + x) = – cos(x)
cos(3pi/2 + x) = sin(x)
tan(3pi/2 + x) = -1/tan(x)

1.3/ Angles remarquables

x sin(x) cos(x) tan(x) cotan(x)
0 0 1 0 /
pi/6 1/2 racine(3)/2 racine(3)/3 racine(3)
pi/4 racine(2)/2 racine(2)/2 1 1
pi/3 racine(3)/2 1/2 racine(3) racine(3)/3
pi/2 1 0 / 0
pi 0 -1 0 /

1.4/ Equations trigonométriques

k appartient à Z

sin(a) = sin(b)
alors a = b + 2kpi
ou a = pi – b + 2kpi

cos(a) = cos(b)
alors a = b + 2kpi
ou a = -b + 2kpi

tan(a) = tan(b)
alors a = b + kpi

II – Formules d’addition

sin(a + b) = sin(a)cos(b) + sin(b)cos(a)
sin(a – b) = sin(a)cos(b) – sin(b)cos(a)
cos(a + b) = cos(a)cos(b) – sin(a)sin(b)
cos(a – b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b)
tan(a + b) = (tan(a) + tan(b)) / (1 – tan(a)tan(b))
tan(a – b) = (tan(a) – tan(b)) / (1 + tan(a)tan(b))

sin(p) + sin(q) = 2sin((p + q)/2)cos((p – q)/2)
sin(p) – sin(q) = 2sin((p – q)/2)cos((p + q)/2)
cos(p) + cos(q) = 2cos((p + q)/2)cos((p – q)/2)
cos(p) – cos(q) = -2sin((p + q)/2)sin((p – q)/2)
tan(p) + tan(q) = sin(p + q) / (cos(p)cos(q))
tan(p) – tan(q) = sin(p – q) / (cos(p)cos(q))

sin(a)sin(b) = (1/2)(cos(a – b) – cos(a + b))
cos(a)cos(b) = (1/2)(cos(a + b) + cos(a – b))
sin(a)cos(b) = (1/2)(sin(a + b) + sin(a – b))

III – Formules de duplication

sin(2a) = 2sin(a)cos(a)
= 2tan(a) / (1 + tan²(a))

cos(2a) = cos²a – sin²a
= 2cos²a – 1
= 1 – 2sin²a

tan(2a) = 2tan(a) / (1 – tan²(a))

sin²(a) = (1 – cos(2a)) / 2
cos²(a) = (1 + cos(2a)) / 2
tan²(a) = (1 – cos(2a)) / (1 + cos(2a))

tan(a) = sin(2a) / (1 + cos(2a))
= (1 – cos(2a)) / sin(2a)

En posant t = tan(a/2) :

sin(a) = 2t / (1 + t²)
cos(a) = (1 – t²) / (1 + t²)
tan(a) = 2t / (1 – t²)

Formule de Moivre

( cos(a) + isin(a))n = cos(na) + isin(na)

Formules d’Euler

cos θ = 1/2.(e + e-iθ)
sin θ = 1/(2i).(e – e-iθ)

 Pour ce profonderir voir le lien => Source : Wikipédia

à propos Hamza Abouabid

Hamza Abouabid étudiant en cycle doctorat à la faculté des sciences Ain Chock Casablanca , Admin des sites coursfaciles.com et AB7AT.COM

Check Also

Ensemble et Application

Ensemble Définition :   On appelle ensemble une collection d’objets que l’on appelle des éléments de …

Laisser un commentaire